درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی کلاس هشتم

1- در هر قسمت، وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویهٔ ABC با وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویهٔ DEF برابر است.

$A{{B}^{2}}={{\sqrt{5}}^{2}}-{{\sqrt{2}}^{2}}$
$A{{B}^{2}}=5-2$
$A{{B}^{2}}=3$
$AB=\sqrt{3}$

$A{{C}^{2}}={{8}^{2}}-{{7}^{2}}$
$A{{C}^{2}}=64-49$
$A{{C}^{2}}=15$
$AC=\sqrt{15}$

اندازهٔ ضلع سوم هر یک از مثلث‌ها را پیدا کنید.
آیا در هر قسمت، سه ضلع مثلث ABC با سه ضلع مثلث DEF مساوی است؟ بله
آیا این دو مثلث با یکدیگر هم‌نهشت‌اند؟ بله در چه حالتی؟ ض ض ض

2- می‌دانیم وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویه‌ای با وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویهٔ دیگری برابر است. آیا می‌توان نتیجه گرفت که این دو مثلث با یکدیگر هم‌نهشت‌اند؟ چرا؟ توضیح دهید.
چون دو ضلع با هم مساویند پس ضلع سوم آنها نیز باهم مساوی هستند، در نتیجه به حالت (ض ض ض) هم نهشت‌اند.

1- در هر قسمت، وتر و یک زاویهٔ تند از مثلث قائم‌الزاویهٔ ABC با وتر و یک زاویهٔ تند از مثلث قائم‌الزاویهٔ DEF برابر است.
زاویهٔ دیگر هر یک از مثلث‌ها را پیدا کنید.

آیا در هر قسمت، دو مثلث با یکدیگر هم‌نهشت‌اند؟ (بله) در چه حالتی؟ حالت ز ض ز

2- وتر و یک زاویهٔ تند از مثلث قائم‌الزاویه‌ای با وتر و یک زاویهٔ تند از مثلث قائم‌الزاویهٔ دیگری برابر است. آیا می‌توان نتیجه گرفت که این دو مثلث با یکدیگر هم‌نهشت‌اند؟ چرا؟ توضیح دهید.
چون یک زاویه تند دیگر آنها نیز با هم مساویند در نتیجه به حالت «ز ض ز» هم‌نهشت‌اند.

شادی و مهتاب داشتند یک کتاب هندسه را مطالعه می‌کردند که به این جمله برخوردند:
«هر نقطهٔ روی عمودمُنَصّف یک پاره‌خط‌ از دو سر آن پاره‌خط‌ به یک فاصله است.»

1- مهتاب پرسید: «چرا این جمله درست است؟»
شادی سعی کرد مثالی برای درستی آن جمله پیدا کند.
او پاره‌خطی کشید و عمودمنصّف آن را رسم کرد. نقطه‌ای را روی آن در نظر گرفت و فاصلهٔ آن نقطه را از دو سر پاره‌خط‌ اندازه گرفت؛ فاصله‌ها مساوی بود.

(یادآوری: فاصله دو نقطه از هم برابر طول پاره خطی است که آن نقاط را به هم وصل می‌کند.)
فکر می‌کنید شادی توانسته است دلیلی برای درستیِ جملهٔ مورد نظر بیاورد؟
باید ثابت کند دو مثلث هم‌نهشتند.

2- مهتاب گفت: «از کجا بفهمیم این جمله در مورد همهٔ نقاط روی عمودمنصّف درست است؟»
شادی سعی کرد دلیلی برای درستیِ آن جمله پیدا کند.
او به شکلی که کشیده بود نگاه کرد. آن را مانند شکل رو به رو علامت گذاری کرد و گفت: «برای همهٔ نقاط روی عمودمنصّف AB، مانند نقطهٔ O، زاویهٔ K زاویه‌ای قائمه است. (چرا؟)»
چون پاره خط OK بر AB عمود است.

همچنین $AK=KB$ (چرا؟) OK هم ضلع مشترک دو مثلث است؛ پس $\overset{\Delta }{\mathop{AOK}}\,\cong \overset{\Delta }{\mathop{BOK}}\,$ (در چه حالتی؟) (ض ز ض)

و در نتیجه $OA=OB$ (چرا؟) چون دو مثلث هم‌نهشتند پس سایز اجزای متناظر آنها با هم مساویند.

فکر می‌کنید این بار شادی توانسته است برای درستی جملهٔ مورد نظر دلیلی بیاورد؟ بله

3- برای درستیِ جملهٔ زیر دلیل بیاورید:

«هر نقطهٔ روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع زاویه به یک فاصله است.»
(یادآوری: فاصله یک نقطه از یک خط، برابر طول پاره‌خطی است که از آن نقطه بر آن خط عمود می‌شود.)
باید ثابت کنیم دو مثلث با هم هم‌نهشتند.